Juros Simples e Compostos | A Matemática do Dinheiro

Juros Simples e Compostos | A Matemática do Dinheiro

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Caio é um supervendedor quando se trata de bicicletas. Além do mais, acha que é seu dever que todas as pessoas andem de bicicleta, logo ele fica deliciado quando um cliente entra na loja e, sem hesitar, compra uma bicicleta de R$ 990,00. O cliente paga com um cheque de R$ 1.500,00 e, como os bancos estão fechados, Caio pede ao vizinho para descontar. Volta, dá ao cliente R$ 510,00 e este desaparece. Segue-se a calamidade. O cheque é rejeitado, o vizinho pede o seu dinheiro de volta e Caio tem de pedir a um amigo que lhe empreste dinheiro. A bicicleta tinha-lhe custado R$ 790,00, mas quanto foi que Caio perdeu ao todo?

O conceito desta pergunta foi proposta pelo criador de puzzles Henry Dudeney. É uma espécie de matemática do dinheiro, mais precisamente um puzzle relacionado com o dinheiro. Na época de Dudeney, uma bicicleta como esta que Caio vendeu poderia ter custado R$ 150,00. Assim, uma maneira de combater a inflação são os juros e estes envolvem matemática séria e estão no centro dos mercados financeiros modernos.

O cheque foi um título de crédito muito conhecido, regulado pela Lei n. 7.357/85 e, atualmente, restrito ao âmbito empresarial. Porém, houve uma época que ele passou a ser utilizado por todos, indistintamente. O maior problema do cheque é a inadimplência. Cheques sem fundo causaram grande prejuízo a vendedores e deixaram de ser aceitos como pagamento pela maioria dos estabelecimentos comerciais nas grandes cidades.

Juros Simples e Juros Compostos

Há dois tipos de juros: simples e compostos. Concentraremos nossa atenção em dois irmãos; Bruno Composto e Daniel simples. O pai dá a cada um deles R$ 1.000,00, que ambos depositam num banco. Bruno Composto escolhe uma conta que aplica juros compostos, mas Daniel simples é mais tradicional e prefere contas que usem juros simples. Os juros compostos foram, historicamente, relacionados com a usura e desaprovação, trata-se de juros sobre juros e é por isso que Bruno gosta deles. Os juros simples não têm essa característica e são calculados sobre determinado montante conhecido como principal. Daniel pode compreendê-los facilmente, dado que o montante rende a mesma quantia de juros todos os anos.

Quando se falam de juros compostos é sempre bom ter alguém como Albert Einstein por perto, porém, sua ideia generalizada de que esta foi a maior descoberta de todos os tempos é um pouco forçada. Contudo, é inegável que a fórmula dos juros compostos tenha uma relação imediata com a sua E = mc^2. Se você quiser poupar dinheiro, pedir um empréstimo, usar cartão de crédito ou fizer uma hipoteca, a fórmula dos juros compostos estará ao seu favor ou contra você.

A = P * (1+j)^n

O termo P é o montante principal (o dinheiro poupado ou o empréstimo), j é a taxa de juro percentual dividida por 100 e n é o número de períodos de tempo.

Bruno coloca os seus R$ 1.000,00 numa conta que rende, anualmente, 7%. Quanto é que ele obterá ao final de três anos? Aqui P = 1.000, j = 0,07 e n = 3. O símbolo A representa o montante obtido. Assim, A = R$ 1.225,04.

A conta de Daniel rende os mesmos juros de 7%, mas em juros simples. Quanto é que ele obterá ao final de três anos? No primeiro ano, ganhará R$ 70,00, assim como no segundo e no terceiro ano. Daniel receberá 3 x R$ 70,00 de juros, num total de R$ 1.210,00. Claramente, o investimento de Bruno foi a melhor decisão.

As somas de dinheiro a juros compostos (ou composição) podem aumentar muito rapidamente. Isto é ótimo quando estamos a poupar, mas não tão bom quando estamos a dever, pois o principal componente da fórmula dos juros compostos é o período da composição. Bruno ouviu falar de um esquema que rende 1% por semana, um centavo para cada real. Quanto tempo ele teria de esperar para ganhar com este esquema?

Daniel sugere multiplicar os juros de 1% por 52 (o total de semanas no ano) para obter uma porcentagem anual de 52%. Isto significam juros de R$ 520,00 ou R$ 1.520,00 na conta. Porém, Bruno lembra ao irmão sobre a mágica dos juros compostos e da fórmula com P = 100, j = 0,01 e n = 52. Usando uma calculadora, Bruno chega ao valor de R$ 1.677,69, equivalente a uma taxa anual de 67,769% (muito mais que os 52% do cálculo de Daniel).

Daniel ficou impressionado, mas o seu dinheiro já está no banco aplicado a juros simples. Pergunta-se então quanto tempo ele levará para duplicar os R$ 1.000,00 originais? Cada ano ele recebe R$ 70,00 de juros, então basta dividir 1.000 por 70. O total é 14,29 e ele tem a certeza de que, após 15 anos, terá mais de R$ 2.000,00 na conta. Mas, para mostrar a superioridade dos juros compostos, Bruno começa a calcular o seu período de duplicação, no início com um pouco de dificuldade, mas um amigo lhe ensina a regra dos 72:

A Regra dos 72

Para uma dada taxa, a regra dos 72 é uma regra de ouro para estimar o número de períodos necessários para o dinheiro duplicar. Embora Bruno esteja interessado em anos, a regra dos 72 também se aplica a dias ou meses. Para encontrar o período de duplicação, tudo o que Bruno precisa fazer é dividir 72 pela taxa. O cálculo é 72/7 = 10,3. Logo Bruno pode dizer ao irmão que o seu investimento duplicará ao final de 11 anos, muito mais rápido que o investimento de Caio. A regra é uma aproximação, mas muito útil quando se têm de tomar decisões rápidas.

Valor Atual

O pai de Bruno Composto está tão impressionado com o bom senso do filho, que o chama à parte e diz: Vou dar-lhe R$ 100.000,00. Bruno fica muito animado mas o pai completa que só lhe dará o dinheiro quando ele tiver 45 anos, o que só vai acontecer daqui a 10 anos.

Bruno gostaria de gastar o dinheiro agora, mas obviamente não pode. Então ele vai ao banco e promete pagar R$ 100.000,00 daqui a dez anos. O banco responde que tempo é dinheiro e que os R$ 100.000,00 daqui a dez anos não são os mesmos que R$ 100.000,00 agora. O banco tem de estimar o investimento atual que realizará este valor daqui a dez anos. Este será o montante que emprestará a Bruno. O banco acredita que uma taxa de crescimento de 12% lhe dará um bom lucro. Qual será o montante que crescerá para R$ 100.000,00 em dez anos a 12% de juros? A fórmula dos juros compostos também pode ser usada para resolver este problema. Desta vez, temos A = 100.000,00 e precisamos calcular P, o valor atual de A. Com n = 10 e j = 0,12, o banco estará preparado para emprestar a Bruno o montante de 100.000/1,12^{10}. Bruno fica chocado com este número pequeno, mas ainda poderá comprar o carro novo.

Como Tratar os Pagamentos Regulares

Agora que prometeu dar R$ 100.000,00 ao filho daqui a dez anos, o pai de Bruno precisa poupar. Planeja fazer isso com um fluxo de pagamentos iguais para a conta-poupança no final de cada ano, por dez anos. Após este período ele será capaz de entregar o dinheiro a Bruno como prometido e Bruno poderá levar o dinheiro ao banco para pagar o empréstimo.

O pai consegue encontrar um banco que paga 8% de juros anuais e passa a Bruno a tarefa de calcular o valor dos pagamentos. Antes, com a fórmula dos juros compostos, Bruno estava preocupado com um pagamento (o montante original), mas agora ele está preocupado com dez pagamentos regulares em anos diferentes. Se os pagamentos regulares R são feitos no final de cada ano numa conjuntura em que a taxa de juros é j, o montante poupado depois de n anos pode ser calculado pela fórmula de pagamentos regulares:

S = R * \frac{((1+j)^n-1)}{j}

Bruno sabe que S = R$ 100.000.00, n = 10 e j = 0,08 e calcula que R = R$ 6.902,95.

Finalmente, a resposta para o quebra-cabeça de Henry Dudeney é R$ 1.300,00, soma dos R$ 510,00 que Caio deu ao cliente mais os R$ 790,00 que pagou pela bicicleta.

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